Le format des deux épreuves

Le TAGE 2 comporte deux sous-tests de calcul, chacun de 10 questions à résoudre en 30 minutes, soit environ 3 minutes par question. Une bonne réponse vaut +3 points, une mauvaise réponse ou une absence de réponse vaut 0. Pas de pénalité : ne laissez jamais de case vide.

Pas de calculatrice : tout se fait à la main, en partie de tête.

Trois leviers pour gagner des points

1. Le vocabulaire. Beaucoup d'erreurs viennent d'une lecture imprécise. Savoir distinguer somme, différence, produit, quotient, pair, impair, premier, consécutif, multiple économise des minutes.
2. Les automatismes. Les tables jusqu'à 12, les carrés jusqu'à 25, les premières puissances de 2 et de 10 doivent sortir sans réfléchir.
3. La méthode. Lire deux fois l'énoncé, traduire en équation ou en schéma, puis seulement calculer. Le calcul brut sans plan est la première cause de perte de temps.

Stratégie de réponse pendant l'épreuve

• Faites un premier passage rapide : ne traitez que les questions où la solution apparaît en moins de 30 secondes.
• Marquez les autres, faites un second passage en y consacrant 2 à 3 minutes.
• À la dernière minute, cochez tout ce qui reste : statistiquement vous gagnez des points sans risque.

Règle d'or Vous n'êtes pas obligé de répondre dans l'ordre. Vous êtes obligé de répondre à un maximum de questions justes dans le temps imparti.

Le TAGE 2 utilise un vocabulaire précis. Voici les termes à connaître par cœur.

Opérations

• Somme : résultat d'une addition. La somme de 7 et 5 est 12.
• Différence : résultat d'une soustraction. La différence entre 12 et 5 est 7.
• Produit : résultat d'une multiplication. Le produit de 6 par 4 est 24.
• Quotient : résultat d'une division. Le quotient de 20 par 4 est 5.
• Reste : ce qui reste après une division entière. $17 = 5 \times 3 + 2$, le reste vaut 2.

Vocabulaire des nombres

• Pair : divisible par 2 (0, 2, 4, 6…).
• Impair : non divisible par 2 (1, 3, 5, 7…).
• Consécutif : qui se suit. $n$ et $n+1$ sont consécutifs.
• Multiple de $n$ : nombre obtenu en multipliant $n$ par un entier. 21 est multiple de 7.
• Diviseur de $n$ : nombre qui divise $n$ sans reste. 7 est un diviseur de 21.
• Premier : entier supérieur à 1 dont les seuls diviseurs sont 1 et lui-même.

Vocabulaire géométrique

• Aire : mesure d'une surface (en m², cm²…).
• Périmètre : longueur du contour.
• Volume : mesure d'un solide (en m³, L…).
• Diagonale : segment reliant deux sommets non voisins.

Pourcentages, ratios, moyennes

• Pourcentage : proportion ramenée à 100. $\;25\% = \dfrac{25}{100} = 0{,}25$.
• Ratio : rapport entre deux grandeurs. Un ratio 3:2 signifie 3 parts contre 2.
• Moyenne arithmétique : somme des valeurs divisée par leur nombre.
• Moyenne pondérée : chaque valeur est multipliée par son poids avant la somme.

Piège à éviter « Augmenter de 20 % puis baisser de 20 % » ne ramène pas au prix initial. On multiplie par $1{,}2 \times 0{,}8 = 0{,}96$, soit une baisse nette de 4 %.

Les grandes familles

• Entiers naturels $\mathbb{N}$ : $0, 1, 2, 3, \dots$
• Entiers relatifs $\mathbb{Z}$ : entiers négatifs et positifs.
• Décimaux $\mathbb{D}$ : nombres à virgule finie. Exemple : $3{,}14$ ; $-0{,}5$.
• Rationnels $\mathbb{Q}$ : quotient de deux entiers $\dfrac{p}{q}$ avec $q \neq 0$.
• Irrationnels : ne peuvent pas s'écrire $\dfrac{p}{q}$. Exemples : $\sqrt{2}$, $\pi$.
• Réels $\mathbb{R}$ : tous les précédents réunis.

Inclusions

Signe d'un nombre

• Un nombre positif est supérieur ou égal à 0.
• Un nombre strictement positif est supérieur à 0.
• Le zéro n'est ni positif ni négatif au sens strict, mais on dit qu'il est positif et négatif dans la convention française.

Valeur absolue

La valeur absolue de $x$, notée $|x|$, est la distance de $x$ à 0.

Opposés et inverses

• L'opposé de $x$ est $-x$. Somme : $x + (-x) = 0$.
• L'inverse de $x$ (avec $x \neq 0$) est $\dfrac{1}{x}$. Produit : $x \times \dfrac{1}{x} = 1$.

À retenir L'opposé concerne l'addition, l'inverse concerne la multiplication. Ne pas confondre.

Définition

Un nombre premier est un entier supérieur ou égal à 2 dont les seuls diviseurs positifs sont 1 et lui-même.

Les nombres premiers à connaître

Les 25 premiers nombres premiers (inférieurs à 100) :

Astuce mémoire 2 est le seul nombre premier pair. Tous les autres sont impairs. 1 n'est PAS premier. 0 non plus.

Décomposition en facteurs premiers

Tout entier supérieur à 1 s'écrit de manière unique comme produit de nombres premiers (à l'ordre près).

Méthode : on divise successivement par les plus petits nombres premiers.

Exemple avec 360 :

À quoi ça sert ?

La décomposition sert à :

• Calculer un PGCD ou un PPCM rapidement.
• Simplifier des fractions.
• Compter les diviseurs d'un nombre : si $n = p_1^{a_1} \times p_2^{a_2} \times \dots$, alors $n$ a exactement $(a_1+1)(a_2+1)\dots$ diviseurs.

Exemple. $360 = 2^3 \times 3^2 \times 5^1$ a $(3+1)(2+1)(1+1) = 24$ diviseurs.

Critères de divisibilité (à connaître par cœur)

Exemple. 2 736 est-il divisible par 9 ? $2+7+3+6 = 18$, oui.

PGCD — Plus Grand Commun Diviseur

Le PGCD de deux entiers est le plus grand entier qui divise les deux.

Méthode 1 — Décomposition. On prend les facteurs communs avec la plus petite puissance.

Méthode 2 — Algorithme d'Euclide. On remplace $(a, b)$ par $(b, a \bmod b)$ jusqu'à obtenir un reste nul. Le dernier reste non nul est le PGCD.

PPCM — Plus Petit Commun Multiple

Le PPCM est le plus petit entier strictement positif multiple des deux.

Méthode décomposition. On prend tous les facteurs avec la plus grande puissance.

Relation à retenir

Vérification. $12 \times 420 = 5\,040 = 60 \times 84$. OK.

Tables de multiplication

Les tables de 1 à 12 doivent sortir instantanément. Si une case résiste, écrivez-la sur un post-it visible.

Tables des carrés de 1 à 25 (à savoir par cœur)

Astuce des carrés en 5. Pour un nombre se terminant par 5, le carré se termine toujours par 25, et les chiffres de devant valent $n \times (n+1)$ où $n$ est le chiffre des dizaines. Exemple : $35^2$ : $3 \times 4 = 12$ puis $25$, donc $1\,225$.

Cubes utiles

À retenir aussi : $11^3 = 1\,331$ et $12^3 = 1\,728$.

Reconnaissance rapide. Si un énoncé mentionne « cube à trois chiffres », la réponse est dans $\{125, 216, 343, 512, 729\}$.

Puissances de 2 utiles

Multiplier par 5

Multiplier par 5 = multiplier par 10 puis diviser par 2.

Multiplier par 25

Multiplier par 25 = multiplier par 100 puis diviser par 4.

Multiplier par 11 (nombres à deux chiffres)

On écarte les deux chiffres et on insère leur somme au milieu.

Si la somme dépasse 9, on retient.

Multiplier par 9

Multiplier par 9 = multiplier par 10 et soustraire le nombre.

Carré d'un nombre proche de 100

Produit de deux nombres proches

Forme $(100 - a)(100 - b) = 10\,000 - 100(a+b) + ab$.

Diviser par 5

Diviser par 5 = multiplier par 2 puis diviser par 10.

Le truc des « presque »

Pour $312 \div 3$ : on remarque $312 = 300 + 12$ donc $312 \div 3 = 100 + 4 = 104$.

Principe général. Décomposer en parts faciles à diviser, additionner les résultats.

Définition

Une fraction $\dfrac{a}{b}$ avec $b \neq 0$ représente $a$ parts sur $b$.

• $a$ est le numérateur.
• $b$ est le dénominateur.

Simplifier

On divise numérateur et dénominateur par leur PGCD.

Addition et soustraction

Il faut un dénominateur commun.

Exemple :

Multiplication

Toujours simplifier avant de multiplier quand c'est possible.

Division

Diviser, c'est multiplier par l'inverse.

Fractions et pourcentages : équivalences clés

Piège. $\dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{3} = 1$ exactement, même si 0,333… + 0,333… + 0,333… semble valoir 0,999…

Règles de calcul sur les puissances

Pour $a \neq 0$ et $b \neq 0$, $n$ et $m$ entiers :

Puissances de 10

Multiplier par $10^n$ déplace la virgule de $n$ rangs vers la droite.

Identités remarquables

À mémoriser absolument :

Et la version cube :

Application : calcul rapide

Astuce. Repérer une différence de carrés cachée fait gagner des secondes : $33^2 - 12^2 = (33-12)(33+12) = 21 \times 45 = 945$.

Définition

La racine carrée de $a \geq 0$, notée $\sqrt{a}$, est l'unique nombre positif dont le carré vaut $a$.

Propriétés

Pour $a \geq 0$ et $b \geq 0$ :

Attention : en général $\sqrt{a + b} \neq \sqrt{a} + \sqrt{b}$.

Simplifier une racine

On extrait les carrés parfaits :

Racines courantes (à mémoriser)

Rationaliser un dénominateur

Exposants fractionnaires

Chapitre crucial : un quart des questions de calcul touchent aux pourcentages.

Trois manières de voir un pourcentage

1. Une proportion : $25\%$ d'un groupe, c'est $\dfrac{25}{100}$ du groupe.
2. Un coefficient multiplicateur : appliquer $25\%$, c'est multiplier par $0{,}25$.
3. Une variation : « +20 % » signifie multiplier par $1{,}20$, « −20 % » signifie multiplier par $0{,}80$.

Tableau de correspondances fondamental

Hausses et baisses successives

On multiplie les coefficients, on n'additionne JAMAIS les pourcentages.

Soit une baisse nette de 4 %.

Variation en pourcentage entre deux valeurs

Exemple. Un prix passe de 80 € à 100 € :

Retrouver la valeur initiale

Si un prix après hausse de 25 % vaut 100 €, la valeur initiale est :

Erreur typique. Pour annuler une hausse de 25 %, il ne faut pas baisser de 25 % mais de 20 % ($\tfrac{1}{1{,}25} = 0{,}8$).

Moyenne arithmétique

Corollaire. Somme des valeurs = nombre de valeurs × moyenne.

Exemple. Un livre fait en moyenne 67 pages par chapitre sur 31 chapitres : $67 \times 31 = 2\,077$ pages.

Moyenne pondérée

Chaque valeur $x_i$ est affectée d'un coefficient $w_i$.

Exemple. Une classe de 30 élèves : 12 garçons avec 14 de moyenne, 18 filles avec 11 de moyenne.

Reconstituer un effectif inconnu

Dans une classe de 30 élèves, garçons à 9 de moyenne, filles à 13. Moyenne globale : 11. Combien de filles ?

Soit $f$ le nombre de filles. Alors :

Effet d'un ajout

Si on ajoute une nouvelle valeur $x$ à un échantillon de moyenne $M$ et de taille $n$, la nouvelle moyenne devient :

Astuce. Si $x > M$, la moyenne monte. Si $x < M$, elle baisse. Si $x = M$, elle reste identique.

Règle de trois (produit en croix)

Si $\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d}$, alors $a \times d = b \times c$.

Exemple. 5 stylos coûtent 7 €. Combien coûtent 12 stylos ?

Coefficient de proportionnalité

Si $y$ est proportionnel à $x$, il existe $k$ tel que $y = k x$.

Pour le trouver, on calcule $k = \dfrac{y}{x}$ pour un couple connu.

Tableau de proportionnalité

Coefficient : $k = 1{,}5$ €/unité.

Proportionnalité inverse

Si $x \times y = k$, $y$ est inversement proportionnel à $x$. Doubler $x$ divise $y$ par 2.

Exemple. Si 6 ouvriers font un mur en 10 jours, 12 ouvriers le font en 5 jours.

Partages proportionnels

Pour partager 240 € entre Alice, Bob et Carla dans les proportions 3 : 4 : 5 :

• Total des parts : $3 + 4 + 5 = 12$.
• Valeur d'une part : $240 \div 12 = 20$ €.
• Alice : 60 € ; Bob : 80 € ; Carla : 100 €.

Opérations autorisées

Dans une équation, on peut :

• Ajouter ou soustraire le même nombre des deux côtés.
• Multiplier ou diviser les deux côtés par un même nombre non nul.
• Élever au carré les deux côtés (en vérifiant le signe).

Équation du premier degré

Exemple. $3x - 12 = 0 \Rightarrow x = 4$.

Système de deux équations à deux inconnues

Trois méthodes principales : substitution, combinaison linéaire, comparaison.

Exemple (combinaison). Résoudre :

Multiplions la 2ᵉ par 3 : $12x - 3y = 30$. On ajoute à la 1ʳᵉ :

Équation du second degré

Discriminant :

• $\Delta > 0$ : deux solutions $x = \dfrac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$.
• $\Delta = 0$ : une solution double $x = -\dfrac{b}{2a}$.
• $\Delta < 0$ : aucune solution réelle.

Cas particulier. $x^2 = A$ (avec $A \geq 0$) donne $x = \sqrt{A}$ ou $x = -\sqrt{A}$.

Inéquations : règle d'or

Quand on multiplie ou divise par un nombre négatif, on inverse le sens de l'inégalité.

Chapitre crucial : récurrent dans les deux épreuves.

Les trois formules de base

Où $V$ est la vitesse, $D$ la distance, $T$ le temps.

Cohérence des unités

C'est la principale source d'erreur. Si la vitesse est en km/h, le temps doit être en heures et la distance en km.

Conversion km/h ↔ m/s

Pour passer de km/h à m/s : diviser par 3,6. Pour passer de m/s à km/h : multiplier par 3,6.

Exemple. 36 km/h = 10 m/s.

Le tableau VTD

Pour les problèmes complexes (deux mobiles, étapes…), dressez un tableau :

Vitesse moyenne

Sur un trajet de plusieurs étapes :

Attention : ce n'est PAS la moyenne arithmétique des vitesses.

Exemple. Aller à 60 km/h puis retour à 40 km/h sur 120 km :

Deux mobiles : croisement et rattrapage

• Sens opposés (croisement) : les vitesses s'additionnent. $T = \dfrac{D}{V_1 + V_2}$.
• Même sens (rattrapage) : les vitesses se soustraient. $T = \dfrac{D}{V_1 - V_2}$.

Conversions du temps utiles

Longueurs (échelle ×10)

km → hm → dam → m → dm → cm → mm

Pour convertir, on multiplie ou on divise par 10 à chaque rang.

Aires (échelle ×100)

km² → hm² → dam² → m² → dm² → cm² → mm²

Chaque rang vaut 100 fois le suivant.

Unités agraires

• $1$ are $= 100\ \text{m}^2$
• $1$ hectare (ha) $= 100$ ares $= 10\,000\ \text{m}^2$
• $1\ \text{km}^2 = 100$ ha

Volumes (échelle ×1 000)

km³ → … → m³ → dm³ → cm³ → mm³

Chaque rang vaut 1 000 fois le suivant.

Capacités

Masses

Temps

Progression arithmétique

Suite où l'on passe d'un terme au suivant en ajoutant une constante $r$ appelée raison.

Somme des $n$ premiers termes :

Exemple. Somme des 100 premiers entiers : $\dfrac{100 \times (1 + 100)}{2} = 5\,050$.

Progression géométrique

Suite où l'on passe d'un terme au suivant en multipliant par une constante $q$ appelée raison.

Somme des $n$ premiers termes (avec $q \neq 1$) :

Exemple. Somme des 10 premières puissances de 2 à partir de $u_1 = 1$ :

Reconnaître l'une ou l'autre

• Différence constante entre termes consécutifs → arithmétique.
• Rapport constant entre termes consécutifs → géométrique.

Principe : raisonner en débit

Si un ouvrier fait un travail en $T$ heures, son débit est $\dfrac{1}{T}$ travail/heure.

Plusieurs ouvriers travaillant ensemble

Les débits s'additionnent.

Exemple. Anna fait un mur en 6 h, Bertrand en 12 h. Ensemble ?

Ils mettent $4$ heures.

Formule rapide pour deux ouvriers

Vérification : $\dfrac{6 \times 12}{6 + 12} = \dfrac{72}{18} = 4$.

Productivité et proportionnalité

Si $n$ ouvriers font un travail en $T$ jours, le travail total représente $n \times T$ jours-ouvrier.

Exemple. 8 ouvriers font une route en 15 jours. Combien faut-il d'ouvriers pour la faire en 10 jours ?

Chapitre crucial : aires, périmètres et volumes tombent presque à chaque épreuve.

Triangles

• Périmètre : somme des trois côtés.
• Aire : $A = \dfrac{\text{base} \times \text{hauteur}}{2}$.
• Triangle rectangle (théorème de Pythagore) : si l'angle droit est en $C$, alors $AB^2 = AC^2 + BC^2$.
• Triangle équilatéral de côté $a$ : aire = $\dfrac{a^2 \sqrt{3}}{4}$.

Quadrilatères

Cercle (rayon $r$)

Solides classiques

Théorème de Thalès (résumé)

Si deux droites sont coupées par deux parallèles, elles définissent des segments proportionnels.

Diagonale d'un rectangle

Diagonale d'un cube d'arête $a$

Pi à connaître : $\pi \approx 3{,}14$. Pour les calculs rapides on prend souvent $\pi \approx 3$ ou $\pi \approx \tfrac{22}{7}$.

Intérêts simples

L'intérêt $I$ produit par un capital $C$ placé au taux annuel $t$ pendant $n$ années :

Le capital final vaut :

Intérêts composés

À la fin de chaque période, les intérêts s'ajoutent au capital et produisent eux-mêmes des intérêts.

Exemple. 1 000 € placés à 5 % pendant 3 ans :

Taux moyen sur deux périodes

Si on a deux hausses successives de $t_1$ et $t_2$, le taux global est :

Remise, marge, marque

• Remise : on enlève un pourcentage du prix.
• Marge : différence entre prix de vente et prix d'achat.
• Taux de marge = $\dfrac{\text{marge}}{\text{prix d'achat}}$.
• Taux de marque = $\dfrac{\text{marge}}{\text{prix de vente}}$.

TVA

Pour un taux de TVA $t$ :

Chapitre crucial au TAGE 2. Trois objets à différencier : arrangement, permutation, combinaison.

Factorielle

Permutations

Nombre de façons d'ordonner $n$ objets distincts :

Exemple. Le nombre de façons de placer 5 personnes sur une rangée de 5 chaises : $5! = 120$.

Arrangements (l'ordre compte)

Nombre de façons de choisir et ordonner $k$ objets parmi $n$ :

Exemple. Podium dans une course de 10 coureurs : $A_{10}^3 = 10 \times 9 \times 8 = 720$.

Combinaisons (l'ordre n'a pas d'importance)

Nombre de façons de choisir $k$ objets parmi $n$ sans tenir compte de l'ordre :

Exemple. Choisir 3 délégués parmi 10 élèves : $\binom{10}{3} = \dfrac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 120$.

Propriétés utiles

Principe multiplicatif

Si une action se déroule en $k$ étapes indépendantes avec respectivement $n_1, n_2, \dots, n_k$ choix, le nombre total de scénarios est :

Exemple. Un menu : 3 entrées, 4 plats, 2 desserts → $3 \times 4 \times 2 = 24$ menus.

Définition élémentaire

Dans le cas équiprobable :

$P(A)$ est toujours compris entre 0 et 1.

Événement contraire

Réunion de deux événements

Si $A$ et $B$ sont incompatibles ($A \cap B = \emptyset$) :

Événements indépendants

Si $A$ et $B$ sont indépendants :

Probabilité conditionnelle

Exemples classiques

Dé à 6 faces. Probabilité d'obtenir un nombre pair : $\dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2}$.

Deux dés. Probabilité que la somme vaille 7 : 6 cas favorables sur 36 → $\dfrac{1}{6}$.

Tirage sans remise. Une urne contient 4 boules rouges et 6 noires. Probabilité de tirer 2 rouges successivement :

Avant l'épreuve

• Apprenez les tables (multiplication, carrés jusqu'à 25, cubes jusqu'à 12, puissances de 2 jusqu'à 10).
• Mémorisez les identités remarquables et les équivalences fraction-pourcentage.
• Refaites des annales chronométrées : 30 minutes net, sans pause.

Pendant l'épreuve : la méthode en 4 temps

1. Lire deux fois. Surlignez les chiffres, les unités, la question posée. Beaucoup de pertes viennent d'une mauvaise lecture, pas d'un mauvais calcul.
2. Traduire. Posez l'équation, dessinez le schéma, dressez le tableau VTD. Ne calculez rien tant que la mise en forme n'est pas faite.
3. Calculer. Privilégiez le calcul mental ou semi-mental. Décomposez en parts faciles.
4. Vérifier l'ordre de grandeur. Un résultat aberrant (un humain pesant 4 200 kg, une vitesse de 12 000 km/h sur une marche) signale presque toujours une erreur d'unité.

Trois réflexes anti-piège

• Hausses et baisses : on multiplie, jamais on n'additionne.
• Vitesses : convertir en unités cohérentes AVANT de calculer.
• Aires et volumes : vérifier le facteur de conversion (×100 pour les aires, ×1 000 pour les volumes).

Gérer le temps

• Une question facile prend ≤ 1 minute. Si vous dépassez 3 minutes, passez et marquez la question.
• Les questions valent toutes 3 points. Mieux vaut traiter 8 questions correctement que s'enliser sur les 10.
• À 1 minute de la fin, remplissez toutes les cases vides : pas de pénalité, gain espéré non nul.

Erreurs à bannir

• Laisser une réponse en blanc.
• Confondre rayon et diamètre, marge et marque, taux annuel et taux mensuel.
• Oublier d'inverser le sens d'une inégalité quand on multiplie par un nombre négatif.
• Confondre $a^{-1}$ (inverse) et $-a$ (opposé).

Mantra du candidat. Lire — Traduire — Calculer — Vérifier l'ordre de grandeur. Quatre mots, trois points par question.